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VARIABLE COMPLEJA

Contents

1 Preliminares y analicidad.


1.1 Álgebra y geometría compleja.


1.2 Proyección estereográfica. Métrica cordal (opcional).


1.3 Funciones elementales: racionales, exponenecial, trigonométricas.


1.4 Funciones multivaluadas: Ramas de logaritmo, potencias, raíces.


1.5 Geometría de estas funciones.


1.6 Analicidad, ecuaciones de Cauchy-Riemann.


1.7 Conformalidad, teorema de la función inversa.


1.8 Diferenciación de las funciones elementales, dominios analíticos, puntos
rama y cortes rama.

2 Integración


2.1 Integral compleja, el teorema fundamental del cálculo, cotas
superiores de integrales.


2.2 Lema de Goursat, teorema de primitivas locales.


2.3 Teorema de Cauchy.


2.4 Teorema de la deformación y de Cauchy con homotopía (opcional).


2.3 Teorema de Morera.


2.4 Integrales de tipo Cauchy, índice, fórmulas integrales de Cauchy.


2.5 Teoremas de Liouville y fundamental del álgebra.


2.6 Lema de Schwartz y teorema del módulo máximo par funciones analíticas y
armónicas.


2.7 Funciones armónicas conjugadas, problema de Dirichlet y fórmula de
Poisson.


2.8 Flujos de fluidos, lineas de flujo y función corriente (opcional).


2.9 Principio del argumento, teorema de Rouché (opcional).

3 Series


3.1 Criterio M de Weierstrass, teorema de Weierstrass o de la convergencia
analítica.


3.2 Lema de Abel, teorema de Taylor, criterios para el radio de convergencia,
producto de series de potencias.


3.3 Teorema de Laurent.


3.4 Singularidades, clasificación de singularidades, teorema de CasoratiWeisrstrass.


3.5 Ejemplos elementales de continuación analítica (opcional).


3.6 Cálculo de residuos.

4 Teorema del residuo y aplicaciones.


4.1 Teorema del residuo.


4.2 Cálculo de integrales impropias de funciones racionales, cálculo de
integrales trigonométricas.


4.3 Cálculo de integrales definidas por la transformada de Fourier y Laplace de
funciones O grande de 1/z, cuando z tiende a infinito (opcional).


4.4 Cálculo de integrales usando cortes rama (opcional).

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