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RELATIVIDAD

¡Bienvenidos al Curso de Relatividad!

«La imaginación es más importante que el conocimiento. El conocimiento se limita a todo lo que sabemos y entendemos, mientras que la imaginación abarca el mundo entero, y todo lo que alguna vez conoceremos y entenderemos». – Albert Einstein

Es un placer darles la bienvenida a este emocionante viaje a través del fascinante mundo de la relatividad. La cita de Albert Einstein nos recuerda la importancia de la imaginación en la ciencia, y no hay un campo en el que esto sea más cierto que en la relatividad.

A lo largo de este curso, exploraremos las teorías de la relatividad especial y general que revolucionaron nuestra comprensión del espacio, el tiempo y la gravedad. Aprenderemos cómo estas teorías han dado forma a nuestra visión del universo y han llevado a descubrimientos asombrosos.

Nuestro objetivo es proporcionarles las herramientas y el conocimiento necesarios para comprender y apreciar la belleza de la relatividad. Prepárense para desafiar sus ideas preconcebidas y expandir sus horizontes científicos.

Estamos emocionados de embarcarnos en este viaje con ustedes y esperamos que disfruten del curso y encuentren inspiración en la mente brillante de Albert Einstein.

¡Comencemos esta emocionante aventura juntos!

Contents

1 Repaso de relatividad especial.

La Teoría de la Relatividad Especial, propuesta por Albert Einstein en 1905, revolucionó nuestra comprensión del espacio, el tiempo y la energía. Esta teoría se basa en dos postulados fundamentales:

  1. Principio de Relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales (es decir, aquellos que se mueven a velocidad constante uno respecto al otro).
  2. Constante de la Velocidad de la Luz: La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente del movimiento de la fuente de luz o del observador.

De estos postulados, se derivan varias consecuencias notables y ecuaciones, incluyendo:

Transformaciones de Lorentz

Las Transformaciones de Lorentz describen cómo las mediciones de tiempo y espacio de un evento cambian para observadores en diferentes sistemas de referencia inerciales. Las ecuaciones son:

  • ( x’ = \gamma (x – vt) )
  • ( y’ = y )
  • ( z’ = z )
  • ( t’ = \gamma \left( t – \frac{vx}{c^2} \right) )

donde:

  • ( x, y, z ) son las coordenadas espaciales en el sistema de referencia original,
  • ( t ) es el tiempo en el sistema de referencia original,
  • ( x’, y’, z’ ) son las coordenadas en el sistema de referencia en movimiento,
  • ( t’ ) es el tiempo en el sistema de referencia en movimiento,
  • ( v ) es la velocidad del sistema de referencia en movimiento respecto al original,
  • ( c ) es la velocidad de la luz, y
  • ( \gamma ) es el factor de Lorentz, dado por ( \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} ).

Dilatación del Tiempo

La dilatación del tiempo describe cómo el tiempo se «estira» o se mueve más lentamente cuando un objeto se mueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. La ecuación es:

  • ( t’ = \frac{t}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} )

Contracción de Lorentz

La contracción de Lorentz (o contracción de longitudes) se refiere a cómo la longitud de un objeto en movimiento se acorta en la dirección del movimiento. La ecuación es:

  • ( L’ = L \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} )

Ecuación de la Energía

Einstein también dedujo la famosa ecuación de equivalencia masa-energía:

  • [latex]E=mc^2[/latex]


1.1 Diagramas de espacio-tiempo.

Los diagramas de espacio-tiempo son representaciones gráficas utilizadas en la física, especialmente en la teoría de la relatividad, para ilustrar cómo el espacio y el tiempo están interconectados. Estos diagramas son particularmente útiles para visualizar y entender fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de longitud en la relatividad especial, así como para representar la influencia de la gravedad en la curvatura del espacio-tiempo en la relatividad general.

En un diagrama de espacio-tiempo:

  • El eje horizontal suele representar el espacio (por ejemplo, una dimensión espacial, como la posición x).
  • El eje vertical representa el tiempo.

Los eventos se marcan en este plano bidimensional, mostrando cómo están relacionados en el espacio y en el tiempo. Las líneas de mundo (trayectorias en el espacio-tiempo) de diferentes objetos o partículas pueden ser trazadas en estos diagramas.

Ecuaciones Relevantes para Diagramas de Espacio-Tiempo

Las ecuaciones de la relatividad especial, como las Transformaciones de Lorentz y la dilatación del tiempo, son fundamentales para entender los diagramas de espacio-tiempo. A continuación, se presentan algunas ecuaciones clave, que puedes usar en WordPress con formato LaTeX:

  1. Transformaciones de Lorentz:
  • ( x’ = \gamma (x – vt) )
  • ( t’ = \gamma \left( t – \frac{vx}{c^2} \right) )
  1. Dilatación del Tiempo:
  • ( t’ = \frac{t}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}} )
  1. Contracción de Lorentz:
  • ( L’ = L \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} )
  1. Ecuación de la Energía (Einstein):
  • ( E = mc^2 )

A continuación se muestran ejercicios resueltos para estos primeros dos temas.


1.2 El espacio-tiempo de Minkowski.


1.3 Transformaciones de Lorentz.


1.4 Elemento de línea.

1.5 Cambios de coordenadas.


1.6 Mecánica y dinámica relativista.

A continuación se muestra un examen prueba para que revises tus conocimientos.

2 Análisis tensorial.


2.1 Definición de cantidades escalares, vectoriales y tensoriales.


2.2 Elemento de línea, diferencial de posición, tensor métrico.


2.3 Operaciones tensoriales.


2.4 Derivación covariante, conexión afín.


2.5 Movimiento geodésico.


2.6 Símbolos de Christoffel como conexión afín y su relación con el tensor métrico.


2.7 Tensor de Riemann, Ricci, escalar de curvatura. Definición y propiedades.

3 Tensores de energía-momento.


3.1 Ecuaciones covariantes de Maxwell.


3.2 Cuadripotencial electromagnético.


3.3 Tensor de Maxwell.


3.4 Descripción de fluido perfecto.


3.5 Tensor de energía momento del fluido perfecto.


3.6 Leyes de conservación.

4 Relatividad General.


4.1 Espacio tiempo curvos.


4.2 El principio de equivalencia.


4.3 Identidades de Bianchi.


4.4 Ecuaciones de campo de Einstein.


4.5 Movimiento geodésico revisado.


4.6 Campos gravitacionales débiles, límite newtoniano.

5 Soluciones particulares de las ecuaciones de Einstein.


5.1 Hoyo negro, solución de Schwarzschild, propiedades, movimiento geodésico.


5.2 Modelo cosmológico, solución de Friedmann – Robertson – Walker.


5.3 Ondas gravitatorias.

6 Temas avanzados (sugerencias).


6.1 Comentarios sobre el modelo cosmológico LambdaCDM.


6.2 Hoyo negro cargado.


6.3 Hoyo negro de Kerr.


6.4 Hoyos de gusano.


6.5 Introducción a la cuantización de la gravedad.


6.6 Lentes gravitatorias.


6.7 Relatividad numérica.


6.8 Astrofísica relativista.


6.9 Teorías alternativas a la Relatividad General.

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