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Ecuaciones Diferenciales I

Contents

1 Introducción


1.1 Repaso de nociones básicas y planteamiento de problemas generales.


1.2 Campos vectoriales en ℝn y su ecuación diferencial asociada.


1.3 Definición de espacio fásico espacio fase extendido, solución y retrato fase de
una ecuación diferencial.


1.4 Ejemplos de métodos geométricos para analizar el retrato fase de una ecuación
diferencial: isóclinas, familias de curvas paramétricas tangentes al campo
vectorial.


1.5 Planteamiento de problemas generales: Existencia y unicidad de soluciones;
aproximación de la solución y cuantificar el error.


2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden


2.1 Ecuaciones homogéneas.


2.2 Ecuaciones no homogéneas y métodos de variación de parámetros.


2.3 Teorema de Existencia y Unicidad y dependencia continua respecto a
condiciones iniciales para este caso, ejemplos.


3 Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden


3.1 Ecuaciones separables, ecuaciones exactas y el método del factor integrante.


3.2 Ejemplos y aplicaciones.


3.3 Teorema de Existencia y Unicidad de Picard.


3.4 Ecuación integral, iterados de Picard.


3.5 Convergencia de los iterados de Picard.


3.6 Lema de Gronwall, dependencia de las condiciones iniciales.


4 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden


4.1 Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.


4.2 Propiedades del conjunto de soluciones, Independencia lineal de soluciones,
wronskiano.


4.3 Solución general.


4.4 Ecuaciones no homogéneas, métodos de variación de parámetros (coeficientes
indeterminados).


4.5 Interpretación geométrica de las soluciones en el plano, ejemplos.


4.6 Vibraciones mecánicas.


4.7 Oscilaciones amortiguadas y forzadas, resonancias.


5 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables


5.1 Métodos de solución por series de potencia.


5.2 Cálculo del radio de convergencia.



5.3 Ecuaciones singulares y el método de Frobenius.


5.4 Ejemplos de ecuaciones de Hermite, Laguerre, Euler, Bessel, Legendre,
Tchebycheff, Ecuación Hipergeométrica.


6 Optativo: Transformada de Laplace y de Fourier


6.1 Métodos de solución y aplicaciones para resolver ecuaciones de segundo orden.


7 Sistemas de ecuaciones de primer orden lineales


7.1 Reducción de ecuaciones de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer
orden, ejemplos.


7.2 Sistema de ecuaciones de primer orden homogéneas.


7.3 Soluciones lineales independientes.


7.4 Ecuación del wronskiano y su solución.


7.5 Matriz fundamental y solución general.


7.6 Ecuaciones con coeficientes constantes, exponencial de una matriz, valores y
vectores propios.


7.7 Núcleo de la matriz y vector propio generalizado, teorema de Cayley-Hamilton.


7.8 Sistema de ecuaciones de primer orden no homogéneas.


7.9 Método de variación de parámetros, ejemplos.


7.10 Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones homogéneas de
primer orden caso con coeficientes constantes y coeficientes continuos.


7.11 Aplicaciones, osciladores acoplados y modos normales de oscilación.


7.12 Tanques de salmueras.


7.13 Circuitos eléctricos.


7.14 Sistemas de poblaciones, etc.


8 Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales


8.1 Estabilidad de la solución de equilibrio de sistemas lineales homogéneos con
coeficientes constantes.


8.2 Clasificación de los puntos de equilibrio en el plano y en el espacio.


8.3 Plano fase.


8.4 Linearización de los puntos de equilibrio de un sistema de ecuaciones
diferenciales no lineales.


8.5 Descripción cualitativa de los conjuntos límites y el Teorema de Poincaré
Bendixon en el plano.


8.6 Dibujo cualitativo del plano fase, ejemplos.


9 Optativo: Ecuaciones en diferencias y métodos numéricos


9.1 Ecuaciones lineales en diferencias.


9.2 Aplicaciones de ecuaciones de diferencias: el método de Newton.


9.3 Método de Euler.


9.4 Métodos de Runge-Kutta.

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