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Calculo IV

Contents

1 Integrales múltiples


1.1 Área de un conjunto plano.


1.2 Integral de una función de dos variables, como volumen debajo de una superficie
y sumas de Riemann.


1.3 Propiedades de las integrales.


1.4 Conjuntos de medida cero.


1.5 Cálculo de integrales múltiples, teoremas de Fubini, integración sobre dominios
más generales.


1.6 Integrales triples y cálculo de volúmenes.


1.7 Teorema del cambio de variables e integrales en polares, cilíndricas, esféricas.


1.8 Teorema del valor medio.


1.9 Centro de masa y momentos de inercia (opcional).

1.10 Integrales impropias.


1.11 Funciones no continuas sobre conjuntos acotados.


1.12 Integrales sobre regiones no acotadas.


1.13 Convergencia uniforme, teorema de Fubini, derivación bajo la integral.


2 Integral de línea


2.1 Integración de funciones escalares sobre curvas paramétricas, independencia
de la parametrización de la curva, integrales de trayectoria.


2.2 Integrales de línea en campos vectoriales, cálculo del trabajo debido a un campo
de fuerzas.


2.3 Integrales de línea en campos del tipo gradiente y campos conservativos.


2.4 Teorema de Green, aplicaciones y ejemplos.


2.5 Índice de un campo (opcional).


3 Integral de superficie


3.1 Superficies parametrizadas, vector normal y plano tangente.


3.2 Integración sobre superficies parametrizadas y cálculo de áreas.


3.3 Independencia de la parametrización.


3.4 Integración de funciones escalares y vectoriales sobre superficies orientables.


3.5 Integrales en coordenadas curvilíneas.


4 Teoremas integrales


4.1 Teorema de la divergencia en el plano, interpretación geométrica.


4.2 Ejemplos de integrales de línea, índice de un campo sobre una curva.


4.3 Teorema de Green, aplicación al laplaciano, conservación de masa.


4.4 Teorema de Stokes, rotacional, vorticidad.


4.5 Teorema de Gauss y Stokes en el espacio.


4.6 Flujos a través de una superficie (presión).


4.7 Identidades de Green.


4.8 Problemas de Laplace, el laplaciano en distintas coordenadas.


4.9 Teorema de Stokes y aplicaciones.


4.10 Principio del máximo para la ecuación del calor.


4.11 Función de Green.


5 Convergencia uniforme y series de potencias


5.1 Definición y ejemplos de convergencia uniforme en una variable, propiedades;
convergencia uniforme de continuas en intervalos cerrados converge a continua,
diferenciación término a término, la prueba M de Weierstrass, ejemplos de
funciones continuas que en ningún punto son diferenciables, series de
potencias, series de Taylor, intervalos de convergencia, derivación e integración
término a término, ejemplos, series de Taylor de las funciones trascendentes.


6 Optativo: Integral de Fourier


6.1 Propiedades, teorema de inversión, Lema de Riemann Lebesgues, Parseval,
convolución.


6.2 Integral de Fresnel.


6.3 Ecuación de onda con transformada de Fourier.


6.4 Transformada de Laplace.


6.5 Desigualdad de Bessel, teoremas de convergencia uniforme.


6.6 La ecuación de calor y de onda.


7 Optativo: Métodos numéricos en integrales múltiples.


7.1 Métodos del trapecio y de Simpson.


7.2 Cuadraturas gaussianas.


7.3 Integración en límites arbitrarios.


7.4 Cálculo de errores.


7.5 Método de Montecarlo.


8 Optativo: Formas diferenciales


8.1 Derivada exterior, formas cerradas, formas exactas.


8.2 Cambios de variables para formas diferenciales.


8.3 Orientación de superficies.


8.4 Integrales de formas diferenciales.


8.5 Cálculo y formas diferenciales en variedades, teorema de Stokes en variedades,
elemento de volumen

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