Saltar al contenido

Calculo III

Contents

1 Funciones de ℝ en ℝN


1.1 Funciones de ℝ en ℝN como curvas en el espacio, límites y derivadas en
términos de las componentes.

1.2 La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.

1.3 Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.

1.4 Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria por longitud de
arco, comparación de parametrizaciones.

1.5 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.

1.6 Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.

1.7 Fórmula de Frenet y Serret (opcional).


2 Espacios normados (opcional)


2.1 Espacios vectoriales, normas en ℝN.

3 Topología de ℝN y funciones de ℝN en ℝ.

3.1 CONJUNTOS ABIERTOS, CERRADOS, FRONTERA.


3.2 CARACTERIZACIÓN DE COMPACTOS, PRUEBA DEL TEOREMA DE HEINE Y BOREL (OPCIONAL),
PRODUCTO DE COMPACTOS.

3.3 CONEXIDAD Y CONEXIDAD RELATIVA.

3.4 Definición de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

3.5 Funciones de ℝN en ℝM, límites y continuidad.

3.6 TEOREMAS DE CONTINUIDAD EN COMPACTOS O EN CONEXOS, EJEMPLOS.

3.7 TEOREMA DE BOLZANO Y WEIERSTRASS.

3.8 FUNCIONES CONTINUAS EN COMPACTOS.

4 Funciones de ℝN en ℝ

4.1 Conjuntos de nivel y gráficas.

4.2 Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.

4.3 Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición
de puntos críticos.

4.4 Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de las
parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.

4.5 Diferenciales de orden k, aproximación por polinomios de Taylor, ejemplos.

5 Transformaciones (opcional)


5.1 Matrices, determinantes, y resolución de sistemas.


5.2 Valores y vectores propios.


5.3 Formas bilineales y cuadráticas.


6 Funciones de ℝN en ℝM


6.1 Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad del gradiente a
los conjuntos de nivel.


6.2 Teoremas de la función inversa e implícita con demostraciones, ejemplos.


6.3 Teorema del rango (opcional).


6.4 Definición del operador de divergencia, laplaciano y rotacional.


6.5 Ejemplos.


7 Máximos y mínimos


7.1 Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y
criterios de positividad, aplicación a hessianos para detectar máximos, mínimos
y puntos silla, lema de Morse (opcional).


7.2 Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange, ejemplos.

Twitter
YouTube
Instagram
es_ESSpanish